Verallgemeinerung der gödelschen Sätze.

von Maciej Zasada

von Maciej Zasada

Kurt Gödel bewies, dass formale Systeme von ausreichender Mächtigkeit, Reichhaltigkeit und Einfachheit (wie beispielsweise Arithmetik) entweder unvollständig oder widersprüchlich sind (vereinfacht).

Wenn es sich um die Arithmetik handelt, auf deren Vorlage Kurt Gödel seinen beweisenden Gedankengang testete, so trifft diese Regel voll und ganz zu. Sie verhindert, dass die Fundamente der Arithmetik axiomatisierbar sind, und sich aus den vorhandenen Gesetzen der Logik ableiten lassen.

Die Dialektik.

Wir wollen hier zeigen, dass die von Gödel entdeckte Abhängigkeit auch für die Dialektik gilt und bedeutet dort, dass es in jedem genügend ausdrucksstarken formalen Sprachsystem S immer mehr wahre Sätze existieren, als in S beweisbar sind.

Wenn wir daher, mittels einer widerspruchsfreien Argumentation, die Systeme um ihre fehlenden Aspekte vervollständigen (und dies ist der Mechanismus einer wirksamen Argumentation), dann beweisen wir bereits deshalb die Unvollständigkeit von S (zum einen weil es in S immer mehr beweisende Argumente als Thesen, die zu beweisen sind, geben wird, zum anderen – allgemeiner: weil nur etwas Unvollständiges, sich überhaupt vervollständigen lässt).

Es sollte uns daher klar sein, dass jede Argumentation aus Prinzip unvollständig ist, selbst dann, wenn sie makellos erscheint und selbst dann, wenn sie restlos überzeugt.

Aus der universellen Perspektive sieht es so aus: keine Argumentation ist endgültig – die Menge der Elemente, aus welchen eine wirksame Argumentation besteht, ist unendlich (s.u.*). Außerdem: jede wirksam durchgeführte Argumentation beweist die Unvollständigkeit des ausdrückenden Systems. Dies ist die dialektische Konsequenz der Gödelschen Entdeckung (Berechtigung folgt): der Traum von endgültiger Wahrheit wird innerhalb der aktuell gültigen Sprachlogik für immer ein Traum bleiben. Sobald gesprochen wird, darf nämlich gelogen werden…und aus dem, was gerade gesagt wurde folgt, dass nicht nur die „Wahrhaftigkeit“ der Wahrheit, auch die „Wahrhaftigkeit“ der Falschheit beweisbar ist. Formal gibt es nämlich keinen Unterschied zwischen Wahrheit und Falschheit. Dies determiniert die Entstehung des dialektischen Raumes der Sprache. Das ist auch die Bedeutung von „Dialektik“ als eines Sprachsystems.

*) Sollte die Zahl der wahren Argumente innerhalb eines formalen Systems S immer größer sein, als die Zahl der beweisbaren Thesen darin, so muss ihre Gesamtzahl unendlich sein. Wäre sie nämlich endlich und betrüge n Elemente, so könnte die Zahl der wahren Argumente in S nicht immer größer sein, als die der beweisbaren Thesen.

Diese Tatsache determiniert die Vervollständigungsfähigkeit von sprachlichen Systemen unter allen Umständen – sie determiniert deshalb ihre prinzipielle Unvollständigkeit.

Verallgemeinerung der Unvollständigkeitssätze.

Indem Kurt Gödel das Vollständigkeitsproblem auf die Mächtigkeit formaler Systeme bezieht, begrenzt er die Gültigkeit seines Beweises. Ich verallgemeinere ihn.

These: Gödelsche Unvollständigkeitssätze gelten allgemein.

Gödels Begrenzung erweist sich als allzu vorsichtig. Modifiziert man den Bezug der Unvollständigkeit, so erweisen sich die Unvollständigkeitssätze von Gödel universalgültig.

Beweis:

Behauptung: Die Gültigkeit gödelscher Unvollständigkeitssätze bleibt erhalten und gilt allgemein, wenn statt auf die Mächtigkeit formaler Systeme, auf ihre Universalität bezogen wird.

Tuen wir das, so betreffen Gödels Sätze allgemein Logik (im allgemeinen jede Sprache), nicht bloß Arithmetik. Sie beziehen sich jetzt einerseits auf die partikuläre Lokalität, andererseits auf die Universalität des Absoluten.

Der neue Kontext entsteht sofort. Die Gültigkeit der Unvollständigkeitssätze hängt nicht mehr davon ab, ob das betrachtete System S mächtig genug, ausdrucksstark und einfach ist, sondern davon, ob S aus der lokalen oder universalen Perspektive betrachtet wird.

Lokal betrachtet ist sowohl die Perspektive, als auch die Zahl erreichbarer Argumente begrenzt und die formalen Systeme hinreichend einfach, um als vollständig und widerspruchsfrei betrachtet zu werden. Ein geschlossenes, einfaches, vollständiges und widerspruchsfreies System der Argumente kann daher nur lokal existieren.

Die Sätze von Gödel, auf diese Lokalität bezogen, besagen, dass ein solches System sich als instabil erweisen muss, wenn es aus universeller Perspektive betrachtet wird. Sie handeln also von universalgültige Wahrheit.

Dialektische Behauptung der Unvollständigkeit – es wird immer mehr Wahrheiten geben, als lokal beweisbar sind.

Dialektische Behauptung der Unbeweisbarkeit – es wird immer Sätze geben, welche in der Sprache des Systems S formuliert sind, und deren Wahrheit in S weder bewiesen, noch widerlegt werden kann.

Behauptung der dialektischen Nicht-Endgültigkeit (des Autors): die Zahl der schlüßigen Argumente ist innerhalb eines jeden dialektischen Systems S höher, als die Zahl der durch sie in S zu beweisenden Thesen.

(es gilt deshalb prinzipiell: es kann kein definitives Argument und keine definitive Wahrheit in S formuliert werden).

Kolloral:

Universal gültige Sätze sind nicht vervollständigungsfähig. Sie sind vollständig. (Vermutung: dadurch widersprüchlich)

Vervollständigungsfähige Sätze (Wahrheiten, für die argumentiert wird) besitzen keinen universellen Wert – sie sind de facto falsch.

Ihre Falschheit ist definitiv.

Alle Systeme der Sprachlogik, die lokal vollständig erscheinen, sind aus universeller Sicht unvollständig.

Universelle Vollständigkeit determiniert lokale Widersprüchlichkeit der sprachlichen Systeme unter sich (wenn wir daher etwa Religionen als sprachliche Systeme betrachten, dann sehen wir alles wie auf der Hand – das nenne ich „sofortige Aufklärung„)