Kommentar zur Überwindung des Lügner-Paradoxons. Der Beweis der Widersprüchlichkeit der klassischen Logik.

von Maciej Zasada

Am 22.08.2016 publizierte ich „Theorie der Zeit XXX. Die Überwindung des Paradoxons: der Vollzug des logischen Durchbruchs„. Darin enthalten ist mein Beitrag zur Überwindung archaisch-menschlicher Rationalität. Nicht mehr und nicht weniger.

Dies sind die Konsequenzen:

1. Es wurde eine neue logische Kategorie etabliert, welche insofern universell ist, als dass ihr sämtliche Aussagen zugeordnet werden können und welche sich dadurch gegenüber der werte-logischen Kategorien der klassischen Logik als übergeordnet (im Sinne umfassend) erweist (womit allerdings die Vollständigkeit der klassischen Logik insgesamt fraglich wird).

2. Es bildete sich innerhalb der klassischen Logik ein universallogischer Präzedenzfall, womit die Widerspruchsfreiheit der klassischen Logik infrage gestellt werden muss (es hat sich gezeigt, dass eine übergeordnete Logik existiert, innerhalb deren kein „tertium non datur“-Prinzip und keine unlösbaren Paradoxien, wie die des Lügners, auftreten).

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Die Kategorie der Informationen, von der im Punkt 1 die Rede ist, ist eine universallogische, denn es können ihr sämtliche (d.h. sowohl wahre, als auch falsche) Aussagen zugeordnet werden. Diese Kategorie ist daher innerhalb des aussagenlogischen Kontextes „falsch“, bzw. sie schlägt einen „Dritten“ vor, der im „Satz von ausgeschlossenen Dritten“ explizit disqualifiziert (verboten) wird, und dessen Einführung unweigerlich zu Paradoxien führt. Die bloße Existenz dieser neuen logischen Kategorie verletzt aber keine Prinzipien der Logik, im Gegenteil: in ihrer Bedeutung und Funktion ist sie umfassender als die Kategorien, welche die Grundlage der klassischen Wahrheitslogik bilden und welche bis dahin als endgültig und diametral gegolten haben. Es hat sich etwas getan.

85.)Der Beweis der Widersprüchlichkeit der klassischen Logik.

85.0.0) Annahme 0: Die klassische Logik (Aussagenlogik; ich nenne sie manchmal „ausschliessende Wahrheitslogik„) muss im eigenen Rahmen konsistent sein, um als vollwertige Logik zu gelten, andernfalls muss angenommen werden, dass sie keine Logik ist.

85.0.1) Annahme 1: Die Konsistenz (Widerspruchsfreiheit) innerhalb des jeweiligen Prinzipienraumes ist die wichtigste Eigenschaft eines jeden logischen Systems.

85.0.2) Annahme 2: Sollte eine Inkonsistenz innerhalb des ureigenen Prinzipienraumes der jeweiligen Logik entdeckt werden, erweist sich diese insgesamt als inkonsistent.

85.0.3) Annahme 3: Das logische Prinzip „Tertium non datur“ bildet den ureigenen Prinzipienraum der ausschliessenden Wahrheitslogik.

85.0.4) Annahme 4: Sollte sich daher als möglich erweisen, die Widersprüchlichkeit des logischen Prinzips „Tertium non datur“ zu beweisen, erweist sich sogleich die ausschliessende Wahrheitslogik insgesamt als widersprüchlich.

85.1) Der Beweis der Inkonsistenz des logischen Prinzips „Tertium non datur“.

85.1.1) Annahme A: Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten ist widersprüchlich.

85.1.1.1) Beweis der Annahme A:

85.1.1.1.2) Annahme des Beweises: Wenn A eine wahre und ¬A eine falsche Aussage ist, dann gilt notwendig:

A ≠ (¬A).

Diese Annahme veranschaulicht, was innerhalb des aussagenlogischen Kontextes als logisches Prinzipienraum gilt: eine wahre Aussage A und ihre Negation ¬A schliessen sich notwendig aus, denn, wenn eine davon der Kategorie der wahren Aussagen angehört, muss die andere in die Kategorie der falschen Aussagen gehören. Es ist ausgeschlossen, dass innerhalb der Aussagenlogik sowohl Aussage A, als auch ¬A als wahr gälte (getreu dem Prinzip „entweder A oder ¬A, tertium non datur“).

85.1.1.2) Das Prinzip der Wahrheit innerhalb der Wahrheitslogik: Wenn A und ¬A sich gegenseitig ausschliessende Aussagen sind, die u.U. jeweils der Kategorie der wahren und der Kategorie der falschen Aussagen angehören, dann existiert keine dritte Kategorie, in deren Rahmen A und ¬A sich nichtausschliessen würden. Es gilt für sie notwendig und permanent das Prinzip „tertium non datur“ und das Prinzip der singulären Wahrheit.

85.1.1.2.1) Universelle Annahme des Beweises: Wenn A eine Information ist und wenn ¬A eine Information ist, dann gleichen sich A und ¬A in puncto Kategoriezugehörigkeit, dann gilt durchaus

Ai= (¬Ai).

85.1.1.2.1.2) Beweis der universellen Annahme: Wenn A und ¬A als Informationen kategorisiert werden, besteht zwischen ihnen kein logisch relevanter Unterschied, denn beide Aussagen derselben logischen Kategorie angehören und beide (als Informationen) zugleich gültig sind. Als gültige Information gilt sowohl Ai, als auch ¬Ai, denn beide sind Informationen unabhängig davon, ob sie jeweils wahr sind, oder nicht.

Wir sehen also, dass sich der Ausschlussprinzip der Wahrheitslogik im universallogischen Kontext als unwirksam erweist. Doch wird die Inkonsistenz eines logischen Prinzips bewiesen, hört dieses auf, ein logisches Prinzip zu sein, denn es wird dadurch das Gebot der Kontinuität der logischen Prinzipien innerhalb der Logik und das Gebot der Konsistenz der logischen Gesetze verletzt. Gehört daher ein unwirksames Prinzip dem ureigenen Prinzipienraum der jeweiligen Logik an, erweist sich diese insgesamt als unwirksam (unvollständig und widersprüchlich). Erweist sich ein konstitutives Prinzip der Logik als widersprüchlich, ist auch daraus resultierende Logik widersprüchlich (Annahme 2).

Die bewiesene Inkonsistenz des Prinzips „Tertium non datur“ berechtigt daher zur Annahme, dass die ausschliessende Wahrheitslogik insgesamt inkonsistent sei [womit die Richtigkeit der Annahmen 1 bis 4 (85.0.1 – 85.0.4) bestätigt wird].
Somit erachte ich auch Annahme A (85.1.1) für bewiesen.

Es kann hier der Eindruck entstehen, unsere Bemühung sei rein destruktiv.
Lassen Sie sich folgendes sagen: alles, was uns weiterbringt ist konstruktiv und sinnvoll, denn warum sollen wir an der Rationalität festhalten, die zwar geordnet und wirksam ist, die uns aber eine Welt beschert, in welcher der affige Unsinn nicht nur möglich, sondern unvermeidlich ist.

85.1.2) Bestätigung der Annahme 0: Die klassische Aussagenlogik erweist sich in der Tat als inkonsistent. Sie kann daher nicht als vollwertige Logik betrachtet werden. Ihre Funktion ist es, die Wahrheit und die Falschheit der Aussagen zu erkennen und zwischen ihnen zu unterscheiden. Als solche generiert sie aber die prinzipielle Notwendigkeit der Existenz der logischen Wertigkeit überhaupt. (Es entsteht die Frage, ob eine Logik ohne Wahrheitswerte überhaupt vorstellbar und sinnvoll ist. Ich sage ja.)

Eine vollwertige Logik erfüllt keinen expliziten Zweck, sie ist wie das Strassennetz, das keine explizite Richtung besitzt. Ein Strassennetz ist wie eine universelle Logik – es erfüllt die Voraussetzung, jedes an das Strassennetz angebundene Ziel zu erreichen (die Funktion der Universallogik ist es, jeden logisch sinnvollen Schluss zu ermöglichen).

Eine bestimmte Strasse, die von A nach B führt, ist wie die Aussagenlogik, welche lediglich einen einzigen Wahrheitsschluss gestattet – sie besitzt einen einzigen Zweck, nämlich A und B zu verbinden.

Die Entscheidung der Wahrheit der Strassenverbindung zwischen A und B ist für diejenigen Strassenbenutzer, welche von A nach B reisen, aber auch für diejenigen, welche von E nach F reisen zwar sinnvoll, doch das universelle Strassennetz, wie die universelle Logik, erweisen sich auch ohne die Entscheidung der Wahrheit einer partikulären Verbindung vollständiger, denn sie ermöglichen die Erreichung eines beliebigen Ziels, ohne dass eine Wahrheit oder Falschheit einer Verbindung partikulär entschieden werden muss. Auch die gleichzeitige Existenz der Wahrheit und der Falschheit ist mittels dieser Metapher erklärbar: die partikuläre Wahrheit der Strassenverbindung zwischen A und B ist nur für diejenigen Reisenden gültig, welche tatsächlich von A nach B reisen; für diejenigen, welche von E nach F unterwegs sind, existiert die Wahrheit dieser Verbindung nicht, es existiert für sie vielmehr ihre Falschheit (tertium non datur).

Die partkuläre (und partikulär „wahre“ und „sinnvolle“) Strassenverbindung zwischen A und B erweist sich daher gegenüber des gesamten Strassennetzes als logisch inkonsistent. Dieselbe Funktionsinkonsistenz entdecken wir bei der Aussagenlogik, deren Funktionalität darin besteht, den Aussagen die partikuläre Konsistenz oder Inkonsistenz zu bescheinigen, obwohl fast immer alternative Betrachtungen möglich sind und meistens tatsächlich vorliegen (wie bei verschiedenen Strassen, welche dieselben Ziele miteinander verbinden oder wie bei verschiedenen Zielen, welche mittels denselben oder verschiedenen Strassen erreicht werden können).

Eine universelle Logik kann daher sinnvoll sein, auch dann, wenn sie aus der Perspektive der ausschliessenden Wahrheitslogik keinen wahrheitslogischen Sinn ergibt. Die ausschliessende Wahrheitslogik, als logische Anwendung, welche für einen einzigen Zweck dienlich ist, bietet keine begründete Methode, den Sinn einer vollwertigen Logik zu erfassen.

Die Universallogik muss im Sinne der Wahrheitslogik eigenmächtig und unbefugt entworfen und eingeführt werden.
Deshalb arbeite gerade ich daran.