Der Beweis der Unvollständigkeit des Leermengenaxioms der ZF-Mengenlehre

von Maciej Zasada

(Wikipedia – ZF-Mengenlehre)

‚Die Tatsache, dass ZFC seit Jahrzehnten untersucht und in der Mathematik benutzt wird, ohne dass sich ein Widerspruch gezeigt hat, spricht aber für die Widerspruchsfreiheit von ZFC.‘

– Ebbinghaus u.a., Kap.VII, §4

2. Leermengenaxiom, veraltet Nullmengenaxiom: Es gibt eine Menge ohne Elemente.

B: ∀A: ¬(A∈B)

Aus dem Extensionalitätsaxiom folgt unmittelbar die Eindeutigkeit dieser Menge B, das heißt, dass es auch nicht mehr als eine solche Menge gibt. Diese wird meist als 0 geschrieben und leere Menge genannt. Das bedeutet: Die leere Menge ist in ZF das einzige Urelement.“

Ende Wikipedia
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Behauptung
Das Leermengenaxiom der ZF-Mengenlehre ist unvollständig.

Das Leermengenaxiom gilt nicht für die Zahl 0, welche einerseits aus dem Leermengenaxiom selbst hergeleitet, andererseits als Summe aller positiven Zahlen und ihrer negativen Äquivalenzen definiert wird.

Beweis
Wenn wir einerseits anstelle der Variablen A, die Zahl 0 als leere Menge setzen, andererseits anstelle derselben Variablen die Zahl 0 als die Summe aller positiven Zahlen und ihrer negativen Äquivalenzen, dann gilt das Leermengenaxiom der ZF-Mengenlehre nicht, obwohl es sich bei dem einen, wie bei dem anderen A mathematisch um eine und dieselbe Zahl handelt, denn dann gilt die Aussage

B: ∀A: ¬(A∈B)

nur für eine der Variablen (u.z. für die Variable A der Form der Zahl 0 als sog. „leere Menge“) – für die andere Form der Variablen A jedoch nicht, denn in diesem Fall kann es durchaus mindestens eine Zahl A gefunden werden, welche ein Element der Menge B ist.

B: (¬∀)A: ¬(A∈B)

Für all diejenigen, die sich denken, Zasada reitet ein einziges Pferd, wie langweilig → die Existenz zweier Wesen der Zahl Null ist ein nichttriviales mathematisches Problem, das von ihm selbst entdeckt wurde → Zasada hat sich daher sein Recht erarbeitet, seine Arbeit zu Ende zu bringen, auch wenn diese, wie die ganze Mathematik der konkreten Zahlenwerte, langweilig ist.