Der Beweis der Unvollständigkeit des Extensionalitätsaxioms der ZF-Mengenlehre.

von Maciej Zasada

Wikipedia spricht:

„Die Tatsache, dass ZFC seit Jahrzehnten untersucht und in der Mathematik benutzt wird, ohne dass sich ein Widerspruch gezeigt hat, spricht aber für die Widerspruchsfreiheit von ZFC.“

– Ebbinghaus u.a., Kap.VII, §4
1. Extensionalitätsaxiom: Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

Fig.1
∀A,B:(A = B ∀C:(C∈A C∈B))

Das Axiom impliziert, dass es in ZF nur Entitäten mit Extension gibt, die üblicherweise als Mengen bezeichnet werden. Alle gebundenen Variablen beziehen sich daher in der ZF-Sprache automatisch auf Mengen.“

Ende Wikipedia.

Zasada:

Behauptung: Das Extensionalitätsaxiom der ZF-Mengenlehre ist unvollständig.

Beweis: Das Extensionalitätsaxiom gilt nicht für die Zahl 0, welche einerseits aus dem Leermengenaxiom hergeleitet, andererseits als Summe aller positiven Zahlen und ihrer negativen Äquivalenzen definiert ist.
Wenn wir anstelle der Variablen A, die Zahl 0 als leere Menge setzen und anstelle der Variablen B die Zahl 0 als die Summe aller positiven Zahlen und ihrer negativen Äquivalenzen, dann gilt das Extensionalitätsaxiom der ZF-Mengenlehre nicht, obwohl es sich bei A und B offenbar um eine und dieselbe Zahl handelt, denn dann gilt die Gleichung A=B nicht, denn dann existiert eine Zahl C, die zwar ein Element von B, aber kein Element von A ist (s. Fig. 1)

∀A,B:(A≢B, denn ∀C:(C∉A C∈B))